1.引言
在三维空间中，我们通常使用坐标系来描述点、直线、平面等几何图形，其中坐标系包括横轴、纵轴和垂直轴。在坐标系中，我们可以通过代数式或向量等方式描述一个点或一条直线，并运用向量的特性来求解几何问题。本文将通过坐标系证明直线垂直于平面内所有直线的结论。
2.坐标系中直线的表示
在三维坐标系中，一条直线可以用向量表示。设向量AB为一条直线L的方向向量，点P(x,y,z)在L上，则向量AP也在L上。则L上任意一点Q(x1,y1,z1)可以表示为P+λ·AB的形式，其中λ为任意实数。另外，由向量的数量积公式可得，向量AB·AP=0，即直线L的方向向量与直线上任意一点的向量垂直。
3.直线垂直的定义
在平面几何中，当两条直线的斜率乘积为-1时，它们互相垂直。在坐标系中，我们可以将垂直两条直线的斜率称为相反数。当两条直线的斜率相乘为-1时，它们互相垂直。在三维坐标系中，直线的斜率被称为方向向量。因此，两条直线垂直，意味着它们的方向向量相互垂直。
4.垂直证明
对于平面内的任意两条直线L1、L2，它们可以用向量表示，分别为AB、CD。由于向量AB·CD=0，即两个向量垂直。设E为L1与L2的交点，则向量AE在L1上，向量CE在L2上。同时，向量AE·CE=(AE+AC)·CE=AE·CE+AC·CE=0+0=0。由向量的数量积公式，我们可以得出向量AE和CE垂直。因此，直线L1和直线L2垂直，证毕。
通过使用坐标系，我们可以容易地证明一个向量或直线与另一个向量或直线垂直的方法。这个技巧在解决几何问题中非常有用，特别是在三维空间中。因此，对于初学者来说，掌握坐标系的基本知识是很必要的。
